できません。

　宇宙条約第２条は、月その他の天体を含む宇宙空間について「国家による取得の対象とはならない」と規定し、国家による宇宙空間及び天体の領有を禁止しています。
　同条は、私人について明文化していませんが、私人による天体取得も同条によって否定されると考えられます。

　そもそも所有権の取得条件、内容等は、主権国家が、その管轄下にある土地について法令で定めるものです。
　私人の土地に対する事実上の管理、占有等は、管轄権を持つ主権国家の承認を受けて、初めて所有権という法的権利と認められるわけです。

　主権国家の承認なくして所有権は存在しえません。
　主権国家の管轄外の土地については、この主権国家の承認を受けることができないため、私人は、所有権という法的権利を取得することはできません。
　そして、宇宙条約第２条は、月をはじめとする天体について、国家が領有して管轄下におくことを禁止しているわけですから、いかなる主権国家も、私人に上記承認を与えることはできません。

　以上から、月の土地について、私人が所有権を取得することはできないと考えられるわけです。