1. 結論

　ＸはＹに対し、「ＮＯＰＱＲ」というブランド名の使用をやめるよう請求でき、その際、Ｙに対し、「ＮＯＰＱＲ」というブランドが付された化粧品を廃棄し、広告を除去する等の行為も合わせて請求できます。

　また、ＸがＹの行為により損害を被った場合は、Ｙに対し損害賠償を請求でき、Ｙの侵害行為によりＸの業務上の信用を害された場合には、Ｘは裁判所を通じて、この損害賠償に代え、又は損害の賠償とともに、Ｘの業務上の信用を回復するに必要な措置をとるよう要求できます。

　さらに、ＸはＹを商標法違反あるいは不正競争防止法違反で刑事告訴することも可能です。

2. 解説

１　商標権侵害行為について

　Ｘが製造販売している化粧品のブランド「ＮＯＰＱＲ」は商標にあたります。
　商標とは文字、図形、記号若しくは立体的形状若しくはこれらの結合又はこれらと色彩との結合 （下線部を「標章」といいます。）で、業として商品を生産、譲渡等する者がその商品について使用をするもの、あるいは業として役務を提供する者がその役務について使用をするものです。（商標法２条３項。以下、特に明示しなければすべての商標法の条文です。）
　商標法では、商標権者に指定商品等について登録商標を使用する権利を専有させています（２５条）。商標を登録する時は、どのような商品又は役務に使用する商標なのかを指定する必要があり（６条１項）、これを指定商品・指定役務といいますが、商標法はこの指定商品・指定役務については、商標権者に登録商標を使用する権利を専有させています。

　本問では、Ｘは指定商品を化粧品として「ＮＯＰＱＲ」を商標として登録していますから、化粧品については「ＮＯＰＱＲ」を商標として独占的に使用する権利があります。
　したがって、Ｙが「ＮＯＰＱＲ」というブランド名で化粧品を売り出すことは、正当な権限なくして他人の登録商標をその指定商品に使用する行為であり、商標権侵害にあたります。

２　商標権侵害に対する対抗手段について

　このような商標権侵害行為に対しては、商標法は商標権者に差止請求権（３６条）という対抗手段を与えています。

　７８条では商標権侵害行為に対する罰則が定められており、商標権を侵害したものは、５年以下の懲役又は５００万円以下の罰金に処せられることがあります。
　また、商標権侵害によって商標権者に損害が発生したら侵害者に対し、損害賠償請求ができます（民法７０９条）。なお、商標法では、損害額及び侵害者の過失を推定する規定があり、商標権者の権利保護を図っています（３８条、３９条、特許法１０３条）。
　さらに、裁判所は、商標権者の請求により、商標権者の業務上の信用を害した者に対し、損害賠償に代え、又は損害の賠償とともに、商標権者の業務上の信用を回復するに必要な措置を命ずることができます（３９条、特許法１０６条）。代表的な信用回復措置としては、謝罪広告があげられます。

３　その他の対抗手段について

　このほか、Ｙの行為は不正競争防止法２条１項に定める不正競争行為のうち、同条１項１号の行為（商品・営業主体混同惹起行為）に該当するものと思われます。（Ｘの「ＮＯＰＱＲ」という商標が著名ならば、同条１項２号の行為（著名表示冒用行為）に該当します）
　不正競争防止法においても、不正競争行為により営業上の利益を侵害された者に、不正競争行為の差止請求権（同法３条）、損害賠償請求権（同法４条本文）信用回復措置（同法７条）を認めており、侵害行為に対する罰則もあります。（同法１４条）。ただし、不正競争防止法においては、損害額を推定する規定はありますが（同法５条）、不正競争をした者の過失を推定する規定はありません。
　よって、商標を登録してあるＸとしては、商標法による救済を求めるほうが有利といえるでしょう。